Đề thi học kì 2 lớp 9 Trần Văn Ơn (Câu hình học)

Bài toán: Cho đường tròn (O, R), từ một điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB (A, B là 2 tiếp điểm). Gọi I là trung điểm AM, BI cắt (O) tại K, tia MK cắt (O) tại C.
Câu a. Chứng minh: IM2 = IB.IK.
Câu b. Chứng minh: AM // BC.
Câu c. Gọi H là trực tâm tam giác AMB. Chứng minh khoảng cách AH không phụ thuộc vào M.
Câu d. Xác định vị trí điểm M để tứ giác AMBC là hình bình hành.

Gợi ý Giải:

Câu a.
Xét Δ AKI và Δ BAI có:
Góc KAI = ABI (Cùng chắn cung AK)
Góc I chung.
⇒ Δ AKI đồng dạng Δ BAI (g-g)
⇒ IA^2 = IB.IK.
Mà IM = IA ⇒ IM^2 = IB.IK (đpcm).
Câu b:
Xét Δ BIM và Δ MIK có:
Góc I chung
IM/IK = IM/IM (vì IM^2 = IB.IK)
⇒ Δ BIM đồng dạng Δ MIK (c-g-c)
⇒ Góc KMI = IBM (2 góc tương ứng)
Mà Góc IBM = MCB (Cùng chắn cung BK)
Do đó, góc MCB = KMI
⇒ AM // BC (2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Câu c:
Vì H là trực tâm của tam giác AMB nên ta có:
⇒ AH ⊥ MB và BH ⊥ MA (t/c trực tâm)
Mà MB ⊥ OB và MA ⊥ OA (t/c tiếp tuyến)
⇒ AH // OB và BH // OA
⇒ AHBO là hình bình hành
⇒ AH = OB = R
Vậy khoảng cách AH không phụ thuộc vào vị trí điểm M.